问题
解答题
| 已知数列an的前n项和为Sn，a1=2，nan+1=Sn+n（n+1）， （1）求数列an的通项公式； （2）设bn=
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答案
（1）∵nan+1=Sn+n（n+1）
∴（n-1）an=Sn-1+n（n-1）（n≥2）
两式相减可得，nan+1-（n-1）an=Sn-Sn-1+2n
即nan+1-（n-1）an=an+2n，（n≥2）
整理可得，an+1=an+2（n≥2）（*）
由a1=2，可得a2=S1+2=4，a2-a1=2适合（*）
故数列{an}是以2为首项，以2为公差的等差数列，由等差数列的通项公式可得，an=2+（n-1）×2=2n
（2）由（1）可得，Sn=n（n+1），
∴bn=
=Sn 2n n(n+1) 2n
由数列的单调性可知，bk≥bk+1，bk≥bk-1
解不等式可得2≤k≤3，k∈N*，k=2，或k=3，
≥k(k+1) 2k (k+2)(k+1) 2k+1
≥k(k+1) 2k k(k-1) 2k-1
b2=b3=
为数列{bn}的最大项3 2
由bn≤t恒成立可得t≥
，则t的最小值3 2 3 2
