∵a₁=a（a＞0，a≠1），a_n=a•a_n-1（n≥2），

则

an

an-1

=a(n≥2)，

∴a_n=a•a^n-1=aⁿ

b_n=a_n•lga_n=naⁿlga，

∵b_n是递增数列，

∴对任意n∈N^*，b_n+1＞b_n恒成立．

即（n+1）aⁿ⁺¹lga＞naⁿlga，对n∈N^*恒成立．

（1）当a＞1时，lga＞0，

∴（n+1）aⁿ⁺¹lga＞naⁿlga⇔（n+1）a＞n，

则a＞

n

n+1

∵

n

n+1

＜1，

∴a＞

n

n+1

恒成立．

∴a＞1

（2）当0＜a＜1时，lga＜0，

∴（n+1）aⁿ⁺¹lga＞naⁿlga⇔（n+1）a＜n，

则a＜

n

n+1

∵当n∈N^*时，

n

n+1

≤

1

2

，

∴0＜a＜

1

2

综上实数a的取值范围：a∈(0，

1

2

)∪(1，+∞)