问题
解答题
| 已知f（x）=ae-x+cosx-x（0＜x＜1） （1）若对任意的x∈（0，1），f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围； （2）求证：e-x+sinx＜1+
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答案
（1）由f（x）＜0，得a＜（x-cosx）•ex，
记g（x）=（x-cosx）•ex，
则g′（x）=（1+sinx）•ex+（x-cosx）•ex
=（1+sinx-cosx+x）•ex，
∵0＜x＜1，
∴sinx＞0，1-cosx＞0，ex＞0，∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，1）上为增函数．
∴-1＜g（x）＜（1-cos1）•e，故a≤-1．
（2）构造函数h（x）=e-x+sinx-1-
（0＜x＜1），且h（0）=0，x2 2
则h′（x）=-e-x+cosx-x，
由（1）知：当a=-1时，f（x）=-e-x+cosx-x＜0（0＜x＜1），
∴h（x）在（0，1）单调递减，∴h（x）＜h（0）=0，
即e-x+sinx＜1+
(0＜x＜1)．x2 2