证明：要证明log

1

2

(a+b)≥

1

2

log

1

2

(a2+1)+

1

2

log

1

2

(b2+1)成立，

只要证明：2log

1

2

(a+b)≥log

1

2

(a2+1)+log

1

2

(b2+1)

只要证log

1

2

(a+b)2≥log

1

2

(a2+1)(b2+1)    (a+b＞0)

由于函数y=log

1

2

x在区间(0，+∞)内是减函数，

∴只要证（a+b）²≤（a²+1）（b²+1）

即证a²+2ab+b²≤（a²+1）（b²+1）

即证a²b²-2ab+1≥0

即证（ab-1）²≥0上式显然成立∴原不等式成立．