（1）由题意可得n=

a1+a2+…+an

n

，∴Sn=n2，

当n=1时，a₁=S₁=1；

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．

当n=1时也成立．故a_n=2n-1．

（2）作差b_n+1-b_n=

an+1

2n+3

-

an

2n+1

=

2n+1

2n+3

-

2n-1

2n+1

=

(2n+1)2-(2n-1)(2n+3)

(2n+1)(2n+3)

=

4

(2n+1)(2n+3)

＞0，

∴b_n+1＞b_n对于任意正整数n都成立，因此数列{b_n}是递增数列．

（3）∵bn=

2n-1

2n+1

递增，∴有最小值

1

3

，

∴f(x)=-

x2

3

+

4x

3

-

2n-1

2n+1

≤-

x2

3

+

4x

3

-

1

3

≤0，解得x²-4x+1≥0，x≥2+

3

，或x≤2-

3

．

所以M=2-

3

．

存在最大的数M=2-

3

，当x≤M时，对于一切非零自然数n，都有f（x）≤0．