（1）函数f（x）的值域为（-1，+∞），由y=2^x-1，得 x=log₂（y+1），

所以f^-1（x）=log₂（x+1）（x＞-1），任取-1＜x₁＜x₂，

f^-1（x₁）-f^-1（x₂）=log₂（x₁+1）-log₂（x₂+1）=log₂

x1+1

x2+1

，

由-1＜x₁＜x₂得0＜x₁+1＜x₂+1，因此0＜

x1+1

x2+1

＜1，得 log₂

x1+1

x2+1

＜0，

所以f^-1（x₁）＜f^-1（x₂），故f^-1（x）在（-1，+∞）上为单调增函数．

（2）f^-1（x）≤g（x） 即：log₂（x+1）≤log₄（3x+1）⇔

x+1＞0 3x+1＞0 (x+1)2≤3x+1

⇔

x+1＞0 (x+1)2≤3x+1

，

解之得0≤x≤1，所以D=[0，1]．

（3）H（x）=g（x）-

1

2

f^-1（x）=log₄（3x+1）-

1

2

log₂（x+1）=

1

2

log2

3x+1

x+1

=

1

2

log2(3-

2

x+1

)，

由0≤x≤1，得1≤3-

2

x+1

≤2，所以0≤log₂（3-

2

x+1

）≤

1

2

，因此函数H（x）的值域为[0，

1

2

]．