问题 选择题
已知数列{an}满足:a1=a2-2a+2,an+1=an+2(n-a)+1,n∈N*,当且仅当n=3时,an最小,则实数a的取值范围为(  )
A.(-1,3)B.(
5
2
,3)
C.(
5
2
7
2
)
D.(2,4)
答案

由an+1=an+2(n-a)+1

得:a2=a1+2(1-a)+1

    a3=a2+2(2-a)+1

    a4=a3+2(3-a)+1

    an=an-1+2(n-1-a)+1

累加得:an=a1+2[1+2+3+…+(n-1)-(n-1)a]+n-1

=a1+2

(n-1)n
2
-2(n-1)a+n-1

因为a1=a2-2a+2,所以an=a2-2a+2+n2-n-2an+2a+n-1=n2-2an+a2-1

f(n)=an=n2-2an+a2-1,该函数开口向上,对称轴方程为n=-

-2a
2
=a,

因为n∈N*,所以当

5
2
<a<
7
2
时,f(n)=an最小.

故选C.

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