问题
解答题
已知函数f（x）的定义域是{x|x∈R，x≠
（1）求证：f（x）是奇函数； （2）求f（x）在区间(2k+
（3）是否存在正整数k，使得当x∈(2k+
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答案
（1）由f(x+1)=-
得f(x+2)=-1 f(x)
=f(x)，（3分）1 f(x+1)
由f（x）+f（2-x）=0得f（x）+f（-x）=0，（4分）
故f（x）是奇函数．（5分）
（2）当x∈(
，1)时，1-x∈(0，1 2
)，1 2
∴f（1-x）=31-x． （7分）
而f(1-x)=-
=1 f(-x)
，1 f(x)
∴f（x）=3x-1． （9分）
当x∈(2k+
，2k+1)(k∈Z）时，x-2k∈(1 2
，1)，1 2
∴f（x-2k）=3x-2k-1，
因此f（x）=f（x-2k）=3x-2k-1． （11分）
（3）不等式log3f（x）＞x2-kx-2k即为x-2k-1＞x2-kx-2k，
即x2-（k+1）x+1＜0． （13分）
令g（x）=x2-（k+1）x+1，对称轴为x=
＜2k+k+1 2
，1 2
因此函数g（x）在(2k+
，2k+1)上单调递增． （15分）1 2
因为g(2k+
)=(2k+1 2
)2-(k+1)(2k+1 2
)+1=(2k+1 2
)(k-1 2
)+1，又k为正整数，1 2
所以g(2k+
)＞0，因此x2-（k+1）x+1＞0在(2k+1 2
，2k+1)上恒成立，（17分）1 2
因此不存在正整数k使不等式有解． （18分）