问题
解答题
已知f（x）=log
（1）求y=gn（x）的表达式； （2）若方程g1（x）=g2（x-2+a）有实根，求实数a的取值范围； （3）设Hn(x)=2gn(x)，函数F（x）=H1（x）+g1（x）（0＜a≤x≤b）的值域为[log2
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答案
（1）由
，y=f(x) ny=gn(x-2)
得gn(x-2)=nf(x)=nlog
x，1 2
所以gn(x)=nlog
(x+2)，（x＞-2）．（4分）1 2
（2）log
(x+2)=2log1 2
(x+a)，1 2
即
=x+a（x+2＞0）（6分）x+2
a=-x+
，令t=x+2
＞0，x+2
所以a=-t2+t+2≤
，9 4
当x=-
时，a=7 4
．9 4
即实数a的取值范围是(-∞，
]（10分）9 4
（3）因为Hn(x)=2nlog
(x+2)=1 2
，1 (x+2)n
所以F(x)=
+log1 x+2
(x+2)．F（x）在（-2，+∞）上是减函数．（12分）1 2
所以F(a)=log2 4 2 a+2 F(b)=log2 5 2 b+2
即
，
+log1 a+2
(a+2)=log21 2 4 2 a+2
+log1 b+2
(b+2)=log21 2 5 2 b+2
所以
（16分）a=2 b=3