问题
解答题
已知数列{an}中，a1=3，a2=5，其前n项和Sn满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3）．令bn=
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若f（x）=2x-1，求证：Tn=b1f（1）+b2f（2）+…+bnf（n）＜
|
答案
（Ⅰ）由题意知Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1（n≥3）
即an=an-1+2n-1（n≥3）
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+a2
=2n-1+2n-2+…+22+5
=2n+1（n≥3）
检验知n=1、2时，结论也成立，故an=2n+1．
（Ⅱ）由于bnf(n)=
| 1 |
| (2n+1)(2n+1+1) |
=
| 1 |
| 2 |
| (2n+1+1)-(2n+1) |
| (2n+1)(2n+1+1) |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2n+1+1 |
故Tn=b1f（1）+b2f（2）+…+bnf（n）
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 1+2 |
| 1 |
| 1+22 |
| 1 |
| 1+22 |
| 1 |
| 1+23 |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2n+1+1 |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 1+2 |
| 1 |
| 2n+1+1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 1+2 |
| 1 |
| 6 |