问题
解答题
已知数列{an}中，a1=3，a2=5，其前n项和Sn满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3）．令bn=
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若f（x）=2x-1，求证：Tn=b1f（1）+b2f（2）+…+bnf（n）＜
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答案
（Ⅰ）由题意知Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1（n≥3）
即an=an-1+2n-1（n≥3）
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+a2
=2n-1+2n-2+…+22+5
=2n+1（n≥3）
检验知n=1、2时，结论也成立，故an=2n+1．
（Ⅱ）由于bnf(n)=
-2n-11 (2n+1)(2n+1+1)
=
-1 2 (2n+1+1)-(2n+1) (2n+1)(2n+1+1)
=
(1 2
-1 2n+1
)．1 2n+1+1
故Tn=b1f（1）+b2f（2）+…+bnf（n）
=
[(1 2
-1 1+2
)+(1 1+22
-1 1+22
)+…+(1 1+23
-1 2n+1
)]1 2n+1+1
=
(1 2
-1 1+2
) ＜1 2n+1+1
-1 2
=1 1+2
．1 6
