数列{an}中，a1=8，a4=2，且满足an+2-2an+1+an=0（n∈N

问题解答题

数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2，且满足a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设b_n=

n(12-an)

（n∈N^*），S_n=b₁+b₂+…+b_n，是否存在最大的整数m，使得任意的n均有S_n＞

总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由．

答案

（1）∵a_n+2-2a_n+1+a_n=0，

∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n（n∈N^*）．

∴{a_n}是等差数列．设公差为d，

又a₁=8，a₄=a₁+3d=8+3d=2，

∴d=-2．∴a_n=-2n+10．

（2）b_n=

n(12-an)

2n(n+1)

（

n+1

），

∴S_n=b₁+b₂++b_n=

[（1-

）+（

）++（

n+1

）]

（1-

n+1

）=

2(n+1)

．

假设存在整数m满足S_n＞

总成立．

又S_n+1-S_n=

n+1

2(n+2)

2(n+1)

2(n+2)(n+1)

＞0，

∴数列{S_n}是单调递增的．

∴S₁=

为S_n的最小值，故

＜

，

即m＜8．又m∈N^*，

∴适合条件的m的最大值为7．