已知函数f(x)=5-6x，数列{an}满足：a1=a，an+1=f（an），n

问题解答题

已知函数f(x)=5-

，数列{a_n}满足：a₁=a，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）若对于n∈N^*，均有a_n+1=a_n成立，求实数a的值；
（2）若对于n∈N^*，均有a_n+1＞a_n成立，求实数a的取值范围；
（3）请你构造一个无穷数列{b_n}，使其满足下列两个条件，并加以证明：①b_n＜b_n+1，n∈N^*；②当a为{b_n}中的任意一项时，{a_n}中必有某一项的值为1．

答案

（1）由题意得a_n+1=a_n=a，∴a=

5a -6

，得a=2或a=3，符合题意

（2）设a_n+1＞a_n，即

5an-6

＞an，解得a_n＜0或2＜a_n＜3

∴要使a₂＞a₁成立，则a₁＜0或2＜a₁＜3

①当a₁＜0时，

a2=

5a1-6

=5-

＞5，

而a3-a2=

5a2-6

-a2=

-(a2-2)(a2-3)

＜0，

即a₃＜a₂，不满足题意．

②当2＜a₁＜3时，

a2=5-

∈(2，3)，a3=5-

∈(2，3)，

a_n∈（2，3），

此时，an+1-an=

5an-6

-an=

-(an-2)(an-3)

＞0，

∴a_n+1＞a_n，满足题意．

综上，a∈（2，3）

（3）构造数列{b_n}：b1=

，bn+1=

5-bn

，

下面证明满足要求．

此时bn=5-

bn+1

，不妨设a取b_n，

那么a2=5-

=5-

=bn-1，a3=5-

=5-

bn-1

=bn-2，

an=5-

an-1

=5-

=b1=

，an+1=5-

=5-

=1.

由b1=

＜2，

可得bn+1=

5-bn

＜2

因为bn+1-bn=

5-bn

-bn=

(bn-2)(bn-3)

5-bn

＞0，

所以b_n＜b_n+1

又b_n＜2≠5，所以数列{b_n}是无穷数列，

因此构造的数列{b_n}符合题意．