问题
解答题
| 设数列{an}具有以下性质：①a1=1；②当n∈N*时，an≤an+1． （Ⅰ）请给出一个具有这种性质的数列，使得不等式
（Ⅱ）若bn=(1-
|
答案
（Ⅰ）令
=1，a 21 a2
=a 22 a3
，1 3
=a 23 a4
，…，1 32
=a 2n an+1
，1 3n-1
则无穷数列{an}可由a1=1，an+1=3n-1an2（n≥1）给出．
显然，该数列满足a1=1，an≤an+1（n∈N*），
且
+a 21 a2
+…+a 22 a3
=1+a 2n an+1
+…+1 3
=1 3n-1
(1-3 2
)＜1 3n
------------------（6分）3 2
（Ⅱ）证明∵bn=(1-
)an an+1
，an≤an+1，∴bn≥0．1 an+1
∴Bn=b1+b2+…+bn≥0．-------------------------（8分）
又bn=(1-
)an an+1
=1 an+1
(an an+1
-1 an
)1 an+1
=
(an an+1
-1 an
)(1 an+1
+1 an
)1 an+1
=(
-1 an
)(1 an+1
+an an+1
)≤2(an an+1
-1 an
)．1 an+1
∴Bn≤2(
-1 a1
)＜1 an+1
=2．2 a1
∴0≤Bn＜2．--------------------------------（14分）