已知数列{an}中，a1=2，前n项和Sn，若Sn=n2an，则an=（） A．

问题选择题

已知数列{a_n}中，a₁=2，前n项和S_n，若Sn=n2an，则a_n=（　　）

A．

B．

n+1

C．

n(n+1)

D．

n(n+1)

答案

∵Sn=n2an，

∴当n≥2时Sn-1=(n-1) 2•an-1，

∴S_n-S_n-1=n²a_n-（n-1）²a_n-1=a_n

（n²-1）a_n=（n-1）²a_n-1，（n+1）a_n=（n-1）a_n-1，

∴na_n-1=（n-2）a_n-2，

（n-1）a_n-2=（n-3）a_n-3，

…

5a₄=3a₃，

4a₃=2a₂，

3a₂=a₁，

两边相乘：

3×4×5×…×（n-1）n（n+1）a_n=1×2×3×…×（n-3）（n-2）（n-1）a₁

n（n+1）a_n=2a₁，

∴a_n=

2a1

n(n+1)

．

故选D．