（I）当n≥2时，由已知得S_n²-S_n-1²=3n²a_n，

因为a_n=S_n-S_n-1≠0，所以S_n+S_n-1=3n²①，

于是S_n+1+S_n=3（n+1）²②，

由②-①得a_n+1+a_n=6n+3③，

于是a_n+2+a_n+1=6n+9④，

由④-③得a_n+2-a_n=6⑤，

A_n（a_n，b_n）（n∈N^*）是曲线y=e^x上的点，所以b_n=e^a_n

所以

bn+2

bn

=e^a_n+2-a_n=e⁶，是常数，即数列{

bn+2

bn

}（n≥2）是常数数列．

（II）由①有S₂+S₁=12，所以a₂=12-2a、由③有a₃+a₂=15，a₄+a₃=21，所以a₃=3+2a，a₄=18-2a．

而⑤表明：数列{a_2k}和{a_2k+1}分别是以a₂，a₃为首项，6为公差的等差数列，

所以a_2k=a₂+6（k-1），a_2k+1=a₃+6（k-1），a_2k+2=a₄+6（k-1）（k∈N*），

数列{a_n}是单调递增数列⇔a₁＜a₂且a_2k＜a_2k+1＜a_2k+2对任意的k∈N*成立．

⇔a₁＜a₂且a₂+6（k-1）＜a₃+6（k-1）＜a₄+6（k-1）

⇔a₁＜a₂＜a₃＜a₄⇔a＜12-2a＜3+2a＜18-2a

⇔

9

4

＜a＜

15

4

．

即所求a的取值集合是M={a|

9

4

＜a＜

15

4

}．

（III）弦A_nA_n+1的斜率为k_n=

bn+1-bn

an+1-an

=

ean+1-ean

an+1-an

，

任取x₀，设函数f（x）=

ex-ex0

x-x0

，则f（x）=

ex(x-x0)-(ex-ex0)

(x-x0)2

，

记g（x）=e^x（x-x0）-（e^x-e^x₀），则g'（x）=e^x（x-x₀）+e^x-e^x=e^x（x-x₀），

当x＞x₀时，g′（x）＞0，g（x）在（x₀，+∞）上为增函数，

当x＜x₀时，g′（x）＜0，g（x）在（-∞，x₀）上为减函数，

所以x≠x₀时，g（x）＞g（x₀）=0，从而f′（x）＞0，

所以f（x）在（-∞，x₀）和（x₀，+∞）上都是增函数．

由（II）知，a∈M时，数列{a_n}单调递增，

取x₀=a_n，因为a_n＜a_n+1＜a_n+2，所以k_n=

ean+1-ean

an+1-an

＜

ean+2-ean

an+2-an

．

取x₀=a_n+2，因为a_n＜a_n+1＜a_n+2，所以k_n+1=

ean+1-ean+2

an+1-an+2

＞

ean-ean+2

an-an+2

．

所以k_n＜k_n+1，即弦A_nA_n+1（n∈N^*）的斜率随n单调递增．