问题
解答题
| 将一个正整数n表示为a1+a2+…+ap（p∈N*）的形式，其中ai∈N*，i=1，2，…，p，且a1≤a2≤…≤ap，记所有这样的表示法的种数为f（n）（如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故f（4）=5）． （Ⅰ）写出f（3），f（5）的值，并说明理由； （Ⅱ）证明：f（n+1）-f（n）≥1（n=1，2，…）； （Ⅲ）对任意正整数n，比较f（n+1）与
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答案
（Ⅰ）因为3=3，3=1+2，3=1+1+1，所以f（3）=3．
因为5=5，5=2+3，5=1+4，5=1+1+3，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+1+1+1，
所以f（5）=7．
（Ⅱ）证明：因为n+1≥2，把n+1的一个表示法中a1=1的a1去掉，就可得到一个n的表示法；反之，在n的一个表示法前面添加一个“1+”，就得到一个n+1的表示法，即n+1的表示法中a1=1的表示法种数等于n的表示法种数，
所以 f（n+1）-f（n）表示的是n+1的表示法中a1≠1的表示法数．
即 f（n+1）-f（n）≥1．
（Ⅲ）结论是f（n+1）≤
[f(n)+f(n+2)]．1 2
证明如下：由结论知，只需证 f（n+1）-f（n）≤f（n+2）-f（n+1）．
由（Ⅱ）知：f（n+1）-f（n）表示的是n+1的表示法中a1≠1的表示法数，f（n+2）-f（n+1）是n+2的表示法中a1≠1的表示法数．
考虑到n+1≥2，把一个a1≠1的n+1的表示法中的ap加上1，就可变为一个a1≠1的n+2的表示法，这样就构造了从a1≠1的n+1的表示法到a1≠1的n+2的表示法的一个对应，所以有f（n+1）-f（n）≤f（n+2）-f（n+1）．