问题 解答题
将一个正整数n表示为a1+a2+…+ap(p∈N*)的形式,其中ai∈N*,i=1,2,…,p,且a1≤a2≤…≤ap,记所有这样的表示法的种数为f(n)(如4=4,4=1+3,4=2+2,4=1+1+2,4=1+1+1+1,故f(4)=5).
(Ⅰ)写出f(3),f(5)的值,并说明理由;
(Ⅱ)证明:f(n+1)-f(n)≥1(n=1,2,…);
(Ⅲ)对任意正整数n,比较f(n+1)与
1
2
[f(n)+f(n+2)]
的大小,并给出证明.
答案

(Ⅰ)因为3=3,3=1+2,3=1+1+1,所以f(3)=3.

因为5=5,5=2+3,5=1+4,5=1+1+3,5=1+2+2,5=1+1+1+2,5=1+1+1+1+1,

所以f(5)=7.

(Ⅱ)证明:因为n+1≥2,把n+1的一个表示法中a1=1的a1去掉,就可得到一个n的表示法;反之,在n的一个表示法前面添加一个“1+”,就得到一个n+1的表示法,即n+1的表示法中a1=1的表示法种数等于n的表示法种数,

所以 f(n+1)-f(n)表示的是n+1的表示法中a1≠1的表示法数.

即 f(n+1)-f(n)≥1.

(Ⅲ)结论是f(n+1)

1
2
[f(n)+f(n+2)].

证明如下:由结论知,只需证 f(n+1)-f(n)≤f(n+2)-f(n+1).

由(Ⅱ)知:f(n+1)-f(n)表示的是n+1的表示法中a1≠1的表示法数,f(n+2)-f(n+1)是n+2的表示法中a1≠1的表示法数.

考虑到n+1≥2,把一个a1≠1的n+1的表示法中的ap加上1,就可变为一个a1≠1的n+2的表示法,这样就构造了从a1≠1的n+1的表示法到a1≠1的n+2的表示法的一个对应,所以有f(n+1)-f(n)≤f(n+2)-f(n+1).

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