问题
解答题
已知数列{an}满足递推关系式：an+2an-an+12=tn（t-1），（n∈N*），且a1=1，a2=t．（t为常数，且t＞1）
（1）求a3；
（2）求证：{an}满足关系式an+2-2tan+1+tan=0，（n∈N*；
（3）求证：an+1＞an≥1（n∈N*）．
答案
（1）由a3a1-a22=t（t-1）和a1=1，a2=t
∴a3=2t2-t…（4分）
（2）由an+2an-an+12=tn（t-1），（n∈N*）
得an+1an-1-an2=tn-1（t-1）（n≥2），
再由上两式相除得到：∴an+2an-an+12=tan+1an-1-tan2
∴an（an+2+tan）=an+1（an+1+tan-1）
∴
=an+2+tan an+1 an+1tan-1 an
即{
}为常数列an+2+tan an+1
∴
=an+2+tan an+1 a3+ta1 a2
而a3+ta1=2t2∴
=2t．an+2+tan an+1
即an+2-2tan+1+tan=0．…（9分）
（3）由t＞1知：an+2an＞an+12≥0
∴an+2an＞0
故an+2与an同号
而a1=1＞0，a2=t＞0．
故an＞0．
又a
+2an＞• n a 2n+1
即
＞an+2 an+1 an+1 an
∴
＞an+1 an
＞…＞an an-1
=t＞1a2 a1
∴an+1＞an
∴an≥1
∴an+1＞an≥1．…（14分）