问题
解答题
已知f（x）=（x-1）2，g（x）=10（x-1），数列{an}满足（an+1-an）g（an）+f（an）=0，a1=2，bn=
（I）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列{bn}中最大项． |
答案
（I）由方程（an+1-an）g（an）+f（an）=0，
得：（an+1-an）×10×（an-1）+（an-1）2=0，
整理得（an-1）[10×（an+1-an）+an-1]=0；
显然由a1=2，知{an}显然不是常数列，且不等于1，所以两边除以an-1；
得10×（an+1-an）+an-1=0，整理后得：10（an+1-1）=9（an-1），
a1-1=1，则{an-1}就是首项为1，公比为
的等比数列．9 10
所以an-1=(
)n-1，an=(9 10
)n-1+1；9 10
（Ⅱ）将an-1=（
）n-1代入bn=9 10
（n+2）（an-1），得bn=（9 10
）n×（n+2）．9 10
bn+1-bn=（
）n+1×（n+3）-（9 10
）n×（n+2）=（9 10
）n×9 10
．7-n 10
∴{bn}在[1，7]上单调递增，在[8，+∞）上单调递减，
∴当n取7或8时bn取最大值，最大值为9×（
）7．9 10