问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）求数列{an}的通项公式； （2）证明
（3）在点列An（2n，an）中，是否存在两点Ai，Aj（i，j∈N*）使直线AiAj的斜率为1？若存在，求出所有数对（i，j），若不存在，说明理由． |
答案
（1）∵f(x)≥
•21 2
=(2n+1)x• 2n-1 x
…（2分）4n2-1
当且仅当(2n+1)x=2n-1 x
即x=
时，2n-1 2n+1
f（x）取得最小值
，4n2-1
∴an=
．…（4分）4n2-1
（2）证明∵
=1 a 2n
=1 4n2-1
(1 2
-1 2n-1
)，…（6分）1 2n+1
∴
+1 a 21
+…+1 a 22
=1 a 2n
[(1-1 2
)+(1 3
-1 3
)+…+(1 5
-1 2n-1
)]1 2n+1
=
(1-1 2
)＜1 2n+1
．…（9分）1 2
（3）不存在．
设Ai（2i，ai），A（2j，aj），（其中i，j∈N*），
则kAiAj=
=ai-aj 2(i-j)
…（10分）
-4i2-1 4j2-1 2(i-j)
=
…（12分）4(i2-j2) 2(i-j)(
+4i2-1
)4j2-1
=
＞2(i+j)
+4i2-1 4j2-1
=1．2(i+j)
+4i2 4j2
故不存在存在两点Ai，Aj（i，j∈N*）使直线AiAj的斜率为1．…（14分）