已知数列{an}满足a1=1，a2=-13，an+2-2an+1+an=2n-6

问题解答题

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=-13，a_n+2-2a_n+1+a_n=2n-6

（Ⅰ）设b_n=a_n+1-a_n，求数列{b_n}的通项公式；

（Ⅱ）求n为何值时，a_n最小（不需要求a_n的最小值）

答案

（I）∵b_n=a_n+1-a_n，∴a_n+2-2a_n+1+a_n=b_n+1-b_n=2n-6

∴bn-bn-1=2(n-1)-6，bn-1-bn-2=2(n-2)-6，…，b2-b1=2-6

将这n-1个等式相加，得

bn-b1=2=2[1+2+…+(n-1)]-6(n-1)

∴bn=n2-7n-8

即数列{b_n}的通项公式为bn=n2-7n-8

（Ⅱ）若a_n最小，则a_n≤a_n-1且a_n≤a_n+1，即b_n-1≤0且b_n≥0

∴

n2-7n-8≥0

(n-1)2-7(n-1)-8≤0

注意n是正整数，解得8≤n≤9

∴当n=8或n=9时，a_n的值相等并最小