问题
解答题
数列{an}满足：na1+(n-1)a2+…+2an-1+an=(
（1）求an的通项公式； （2）若bn=-（n+1）an，试问是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有bn≤bk成立？证明你的结论． |
答案
（1）由na1+(n-1)a2+…+2an-1+an=(
)n-1+(9 10
)n-2+…+9 10
+1，9 10
得，（n-1）a1+（n-2）a2+…+an-1=(
)n-2+…+9 10
+1两式相减，9 10
得a1+a2+…+an=(
)n-1=Sn9 10
∴当n=1时，a1=S1=1
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-
(1 10
)n-29 10
即an=1 ，n=1 -
(1 10
)n-2，n≥29 10
（2）由（1）得bn=-(n+1)an=-2 ，n=1
(n+1 10
)n-2，n≥29 10
设存在自然数k，使对n∈N，bn≤ck恒成立
当n=1时，b2-b1=
＞0⇒b2＞b123 10
当n≥2时，bn+1-bn=(
)n-2•9 10
，8-n 100
∴当n＜8时，bn+1＞bn
当n=8时，bn+1=bn，当n＞8时，bn+1＜bn
所以存在正整数k=8或9，使对任意正整数n，均有b1＜b2＜…＜b8=b9＞b10＞b11＞…，
从而存在正整数k8或9，使得对于任意的正整数n都bn≤bk成立