问题
解答题
已知数列{an}的首项为a1=1，且数列的前n项和Sn=n2an（n∈N*）．
（1）求a2，a3，a4，a5的值；
（2）猜想数列{an}（3）的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
答案
（1）∵Sn=n2an，∴an+1=Sn+1-Sn=（n+1）2an+1-n2an
∴an+1=
ann n+2
∴a2=
，a3=1 3
，a4=1 6
，a5=1 10
，1 15
（2）猜测an=
；下面用数学归纳法证2 n(n+1)
①当n=1时，结论显然成立．
②假设当n=k时结论成立，即ak=2 k(k+1)
则当n=k+1时，ak+1=
ak=k k+2
×k k+2
=2 k(k+1) 2 (k+1)(k+2)
故当n=k+1时结论也成立．
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有an=2 n(n+1)