问题
解答题
甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A、B两个喷雾器中分别配制成12%、6%的药水各10千克，实际上两个喷雾器中农药浓度本应是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从A、B两喷雾器中分别取1千克的药水，将A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，这样操作进行3n次后，A喷雾器药水成了含有an%的药水，B喷雾器药水成了含有bn%的药水．
①证明：an+bn是一个常量
②建立an与an-1的关系式
③按照这样的方式进行下去，他们能否得到浓度大致相同的药水．
答案
（1）A中含有农药12%×10=1.2千克，B中含有农药6%×10=0.6千克
次操作后，A中含有农药0.1 千克，B中含有农药0.1 千克
∴0.1an+0.1bn=1.2+0.6=1.8，
则an+bn=18 为常量．
（2）第n 次操作后，A中10千克药水中农药的重量具有关系式：
an-1+9 10
×0.1×bn-1=0.1an1 10
又∵bn-1=18-an-1
∴an=
an-1+4 5
．9 5
（3）由（2）可知，an-9=
(an-1-9)，4 5
∴an-9是公比为
的等比数列，4 5
首项为3，∵q=
，4 5
∴an=9+3×(
)n-1是一个无穷递缩等比数列．4 5
当n 无穷大时an=9，
∵an+bn=18
∴bn=9
即能大致相同．