问题
解答题
在直角坐标平面xOy上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），…，An（n，an），…，简记为{An}、若由bn=
（1）判断A1( 1， 1)，A2( 2，
（2）若{An}为T点列，且点A2在点A1的右上方、任取其中连续三点Ak、Ak+1、Ak+2，判断△AkAk+1Ak+2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明； （3）若{An}为T点列，正整数1≤m＜n＜p＜q满足m+q=n+p，求证：
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答案
（1）由题意可知an=
，1 n
∴bn=
-1 n+1
=1 n
，-1 n(n+1)
显然有bn+1＞bn，
∴{An}是T点列
（2）在△AkAk+1Ak+2中，
=(-1，ak-ak+1)，Ak+1Ak
=(1，ak+2-ak+1)，Ak+1Ak+2
•Ak+1Ak
=-1+(ak+2-ak+1)(ak-ak+1)Ak+1Ak+2
∵点A2在点A1的右上方，
∴b1=a2-a1＞0，
∵{An}为T点列，
∴bn≥b1＞0，
∴（ak+2-ak+1）（ak-ak+1）=-bk+1bk＜0，则
•Ak+1Ak
＜0Ak+1Ak+2
∴∠AkAk+1Ak+2为钝角，
∴△AkAk+1Ak+2为钝角三角形、
（3）∵1≤m＜n＜p＜q，m+q=n+p，
∴q-p=n-m＞0
①aq-ap=aq-aq-1+aq-1-aq-2++ap+1-ap=bq-1+bq-2++bp≥（q-p）bp②
同理an-am=bn-1+bn-2++bm≤（n-m）bn-1、③
由于{An}为T点列，于是bp＞bn-1，④
由①、②、③、④可推得aq-ap＞an-am，
∴aq-an＞ap-am，
即
•AnAq
＞j
•AmAp j