问题
解答题
设向量
（1）求证：an=n+1； （2）求bn的表达式； （3）cn=-an•bn，试问数列{cn}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有cn≤ck成立？证明你的结论． |
答案
（1）∵
=(x，2)，a
=(x+n，2x-1) (n∈N+)，b
∴函数y=
•a
=x（x+n）+4x-2=x2+（4+n）x-2b
判断知，此函数在[0，1]上为增函数，
∴an=-2+1+4+n-2=n+1
（2）nb1+(n-1)b2+…+bn=(
)n-1+(9 10
)n-2+…+(9 10
)+1=10[1-(9 10
)n](n-1)b1+(n-2)b2+…+bn-1=(9 10
)n-2+(9 10
)n-3+…+(9 10
)+1=10[1-(9 10
)n-1]9 10
两式相减得：b1+b2+…+bn=(
)n-19 10
由上式得b1+b2+…+bn-1=(
)n-29 10
两式作差得bn=-
•(1 10
)n-2，n≥29 10
又n=1时，b1=1
所以bn=1 n=1 -
•(1 10
)n-2 n≥29 10
（3）n≥2时，cn=
•(n+1 10
)n-2，9 10
令
⇒k=9或8
≥1ck ck-1
≥1ck ck+1
验证知，当n=1，2也满足
故存在k=8，9使得cn≤ck对所有的n∈N*成立