（1）设甲、乙、丙三人各自过关分别为事件A、B、C

由题设条件有

P(A• B )= 1 4 P(B• C )= 1 12 P(A•C)= 2 9

即

P(A)•(1-P(B))= 1 4      ① P(B)•(1-P(C))= 1 12     ② P(A)•P(C)= 2 9 .                ③

由①、③得P(B)=1-

9

8

P(C)代入②得  27[P（C）]²-51P（C）+22=0．

解得P(C)=

2

3

或

11

9

（舍去）．

将P(C)=

2

3

，分别代入 ③、②可得P(A)=

1

3

，P(B)=

1

4

．

即甲、乙、丙三人各自过关的概率分别是

1

3

，

1

4

，

2

3

．…（6分）

（2）【理科】三人过关的人数可能取值为0，1，2，3．相应地，三人未过关的人数可能取

值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3．…（7分）

P（ξ=3）=P（A•B•C）+P（

.

A

•

.

B

•

.

C

）=P（A）P（B）P（C）+P(

.

A

)P(

.

B

)P(

.

C

)=

2

9

ξ	1	3
P	7 9	2 9

P（ξ=1）=1-

2

9

=

7

9

…（8分）

所以ξ的分布列为：

Eξ=1×

7

9

+3×

2

9

=

13

9

（人）…（10分）

【文科】三人过关的人数可能取值为0，1，2，3．相应地，三人未过关的人数可能取

值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3．

因为P（ξ=3）=P（A•B•C）+P（

.

A

•

.

B

•

.

C

），

=P（A）P（B）P（C）+P(

.

A

)P(

.

B

)P(

.

C

)）=

2

9

，

所以ξ取最小值1时，P（ξ=1）=1-

2

9

=

7

9

．…（10分）

（3）【理科】欲使函数f(x)=log2[ξx2-(ξ-1)x+

1

4

]的值域是R，且ξ≠0，

只需ξ＞0且△=(ξ-1)2-4×ξ×

1

4

=ξ2-3ξ+1≥0即可．

解得ξ≤

3- 5

2

（舍）或ξ≥

3+ 5

2

，那么P(D)=P(ξ≥

3+ 5

2

)=P(ξ=3)=

2

9

，

所以事件D的概率为

2

9

．（也可以直接将ξ分别取1，3时代入△≥0即可）．…（14分）

【文科】由不等式x²-ξx+1＜0（x∈[1，2]），可得ξ＞x+

1

x

，

设g(x)=x+

1

x

，x∈[1，2]，g（x）在x∈[1，2]上单调递增，

由题意，只需ξ＞g（x）_max=g（2）=2.5即可．

所以P(D)=P(ξ＞2.5)=P(ξ=3)=

2

9

．…（14分）