∵a₁=

1

3

，a_n+1=f（a_n），且函数f（x）=

2x-3，x＞1 x+1，0≤x≤1 2x+1，x＜0

，

∴a₂=f（a₁）=f(

1

3

)=

1

3

+1=

4

3

，

a₃=f（a₂）=f(

4

3

)=2×

4

3

-3=-

1

3

，

a₄=f（a₃）=f(-

1

3

)=2×(-

1

3

)+1=

1

3

=a₁，

…

∴a_n+3=a_n．

∵a₁+a₂+a₃=

1

3

+

4

3

-

1

3

=

4

3

=a₂+a₃+a₄=…．

∴S₂₀₁₄=a₁+671（a₂+a₃+a₄）

=

1

3

+671×

4

3

=895．

故选：A．