问题 解答题
已知数列{an}的前项和Sn,当n≥2时,点(
1
Sn-1
1
Sn
)
在f(x)=x+2的图象上,且S1=
1
2

(1)数列{an}的通项公式;
(2)设bn=2(1-n)an求f(n)=
bn+2
(n+5)bn-1
的最大值及相应的n的值;
(3)在(2)的条件下当n≥2时,设Tn=
b22
+
b23
+…
b2n
.证明:Tn<1.
答案

(1)∵n≥2时,点(

1
Sn-1
1
Sn
)在f(x)=x+2的图象上,

1
Sn
-
1
Sn-1
=2,(n≥2)

故数列{

1
Sn
}是一个以2为公差的等差数列

又∵S1=

1
2
1
S1
=2

1
Sn
=2n,即Sn=
1
2n

∴n≥2时,an=Sn-Sn-1=

1
2n
-
1
2(n-1)
=
1
2(n-1)n

又∵n=1时,

1
2(n-1)n
无意义

故an=

1
2
,n=1
1
2(n-1)n
,n≥2

(2)∵bn=2(1-n)an

∴当n=1时,b1=0,

当n≥2时,bn=2(1-n)•

1
2(n-1)n
=
1
n

∴f(n)=

bn+2
(n+5)bn-1
=
n+1
(n+2)(n+5)
=
1
(n+1)+
4
n+1
+5
1
9

当且仅当n+1=2,即n=1时取等

(3)当n≥2时,

Tn=

b22
+
b23
+…
b2n

=

1
22
+
1
32
+…+
1
(n+1)2

1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
n(n+1)

=1-

1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1

=1-

1
n+1
<1

即Tn<1

单项选择题

案例2 去年年初,在某厂的职工中,悄悄地流传着一个“新闻”:“我厂要来一位叫李广明的厂长,听说原来是某公司的副经理,他是自己主动要求到我们厂里来的,人很精明厉害。”不几天,这个“新闻”便一下子成了全厂无人不知的“旧闻”了。尽管新厂长还没有上任,但他已经在职工心目中形成很深的印象。在“新闻”变成“旧闻”的几天后,厂里的食堂突然变得干净、明亮了;饭菜不仅花色品种多,而且价廉物美。职工们人人称赞。此时,从“消息灵通人士”嘴里又传出一条消息:新厂长已走马上任,一到厂就去食堂,与炊事员一起搞卫生,洗菜做饭。不久厂里搭建起职工停放自行车的车棚;托儿所里增加了阿姨,添置了玩具,扩大了入托的范围;堵塞已久的阴沟被疏通了;厂区的绿化工作也有专人管理了。就在这个时候,厂里开大会,新厂长李广明正式与大家见面了。新厂长身高1.82米,穿了一身整洁、挺括的服装,容光焕发,神采奕奕地坐在 * * 台上。群众的目光都自然地集中在他身上,当轮到他讲话时,会场顿时安静。新厂长对这次讲话是经过充分准备的,一开始,他就笑得一脸灿烂:“同志们,我有一个毛病,每天抽一包半烟,不抽烟不讲话。但是,今天是我和大家第一次见面,我不愿意给你们留下一个不文明的印象。因为,按现在的看法,在公共场合,尤其坐在 * * 台上抽烟是不文明的行为。所以,从现在起,我戒烟了,请同志们监督。”这番话,引起阵阵笑声,会场的气氛活跃了。接着,他又说:“我希望抽烟的同志能响应我的倡议。尽量少抽烟,至少在会场里不抽烟。”于是,许多人的眼光转向那些正在吞云吐雾的人,许多抽烟者纷纷灭掉了烟。不一会,会场里竟没有一个人再抽烟。接着,新厂长以富有感染力的语言,条理清晰的内容,作了一个有声有色的报告。两个小时过去了,会场仍然非常安静,没有一个人早退,也没有一个人抽烟。大家被新厂长的报告吸引住了。散会之后,大家议论纷纷,有的说;“新厂长上任新气象,我看咱厂大有希望”,有的说:“领导干部都像咱厂长这样严以律己,那才是四化建设需要的好干部”。也有的说:“厂长来厂就一头扎进食堂、托儿所,抓戒烟,这样事必躬亲,不抓大事,说明他根本不懂得现代管理”;有的说:“新官上任三把火,咱们走着瞧吧”。请根据案例2提供的情况,回答以下问题:(单项选择,每小题2分,共10分)

新厂长是按照哪种原理开展工作的 (  )

A.“经济人”假设

B.“社会人”假设

C.“自动人”假设

D.“复杂人”假设

填空题