已知：f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意a、b∈R，满

问题填空题

已知：f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意a、b∈R，满足：f（a•b）=af（b）+bf（a），且f(2)=2，an=

f(2-n)

，则数列{a_n}的通项公式a_n=______．

答案

令a=1，b=1，得f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0，

令a=2，b=

，得f（1）=2f（

）+

f（2），且f（2）=2，∴f（

）=-

，

令a=2^-n，b=2，得f（2^-n+1）=2^-nf（2）+2f（2^-n）
设A_n=f（2^-n）
∴A_n-1=2^-n-1+2A_n，
∴

An-1

2-(n-1)

=1+

2-n

，即

2-n

An-1

2-(n-1)

=-1，且

2-1

)

=-1
即数列{

2-n

}是以-1为，-1为首项的等差数列
∴

2-n

=-n，
∴A_n=-n•2^{-n
∴an=-
1
2n
．
故答案为：-
1
2n
．}