问题
解答题
已知数列{an}的首项a1＞0，an+1=
（Ⅰ）若a1=
（Ⅱ）若a1=
（Ⅲ）若an+1＞an对一切n∈N+都成立，求a1的取值范围． |
答案
（Ⅰ）∵a1=
，an+1=3 5
，∴a2=3an 2an+1
=3a1 2a1+1
，a，3=9 11
=3a2 2a2+1
…（2分）27 29
（Ⅱ）证明：由题意知an＞0，
=1 an+1
，2an+1 3an
∴
-1=1 an+1
(1 3
-1)，1 an
∵
-1=1 a1
…（4分）2 3
所以数列{
-1}是首项为1 an
，公比为2 3
的等比数列…（5分）1 3
∴
-1=1 an
(2 3
)n-1=1 3
，2 3n
∴an=
…（7分）3n 3n+2
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
-1=(1 an
-1)(1 a1
)n-1即1 3
=(1 an
-1)(1 a1
)n-1+1…（9分）1 3
由a1＞0，an+1=
知an＞0，故an+1＞an，得3an 2an+1
＜1 an+1
…（11分）1 an
即(
-1)(1 a1
)n+1＜(1 3
-1)(1 a1
)n-1+1得1 3
-1＞0，…（13分）1 a1
又a1＞0，则0＜a1＜1…（14分）