问题
解答题
| 设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*其中a，c为实数，且c≠0 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式 （Ⅱ）设a=
（Ⅲ）若0＜an＜1对任意n∈N*成立，求实数c的范围．（理科做，文科不做） |
答案
（Ⅰ）由题设得：n≥2时，an-1=c（an-1-1）=c2（an-2-1）=…=cn-1（a1-1）=（a-1）cn-1．
所以an=（a-1）cn-1+1．
当n=1时，a1=a也满足上式．
故所求的数列{an}的通项公式为：an=（a-1）cn-1+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=n（1-an）=n•(
)n1 2
∴Sn=b1+b2+…+bn=
+2•(1 2
)2+…+n•(1 2
)n1 2
∴
Sn=(1 2
)2+2•(1 2
)3+…+(n-1)•(1 2
)n+n•(1 2
)n+11 2
∴两式相减可得
Sn=1 2
+(1 2
)2+…+(1 2
)n-n•(1 2
)n+11 2
∴Sn=2-(2+n)•(
)n1 2
（Ⅲ）由（Ⅰ）知an=（a-1）cn-1+1．
若0＜（a-1）cn-1+1＜1，则0＜（1-a）cn-1＜1．
因为0＜a1=a＜1，∴0＜cn-1＜
（n∈N+）．1 1-a
由于cn-1＞0对于任意n∈N+成立，知c＞0．
下面用反证法证明c≤1．
假设c＞1，由函数f（x）=cx的图象知，当n→+∞时，cn-1→+∞，
所以cn-1＜
不能对任意n∈N+恒成立，导致矛盾．1 1-a
∴c≤1，因此0＜c≤1．