问题
解答题
已知数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，数列{an}中，b1=1，点P（bn，
bn+1）在直线x﹣y+2=0上．
（Ⅰ） 求数列{an}，{bn}的通项公式an和bn；
（Ⅱ） 设cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
答案
解：（Ⅰ）∵an是Sn与2的等差中项，
∴Sn=2an﹣2，①
∴a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2
n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1﹣2，②
①﹣②可得：an=2an﹣2an﹣1，
∴an=2an﹣1（n≥2），即数列{an}是等比数列
∴an=2n，
∵点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，
∴bn﹣bn+1+2=0，
∴bn+1﹣bn=2，即数列{bn}是等差数列，
又b1=1， ∴bn=2n﹣1；
（Ⅱ）∵cn=（2n﹣1）2n，
∴Tn=a1b1+a2b2+anbn=1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）2n，
∴2Tn=1×22+3×23+…+（2n﹣3）2n+（2n﹣1）2n+1，
∴﹣Tn=1×2+（2×22+2×23+…+2×2n）﹣（2n﹣1）2n+1，
即：﹣Tn=1×2+（23+24+…+2n+1）﹣（2n﹣1）2n+1，
∴Tn=（2n﹣3）2n+1+6．