设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=1，an+1=3Sn+1，n∈N*．

问题解答题

设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=1，a_n+1=3S_n+1，n∈N^*．

（Ⅰ）写出a₂，a₃的值，并求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）记T_n为数列{na_n}的前n项和，求T_n；

（Ⅲ）若数列{b_n}满足b₁=0，b_n-b_n-1=log₂a_n（n≥2），求数列{b_n}的通项公式．

答案

（Ⅰ）由已知得，a₂=4，a₃=16．…（2分）

由题意，a_n+1=3S_n+1，则当n≥2时，a_n=3S_n-1+1．

两式相减，得a_n+1=4a_n（n≥2）．…（3分）

又因为a₁=1，a₂=4，

a 2

=4，

所以数列{a_n}是以首项为1，公比为4的等比数列，

所以数列{a_n}的通项公式是an=4n-1（n∈N^*）．…（5分）

（Ⅱ）因为Tn=a1+2a2+3a3+…+nan=1+2×4+3×42+…+n•4n-1，

所以4Tn=4×1+2×42+3×43+…+(n-1)•4n-1+n•4n，…（6分）

两式相减得，-3Tn=1+4+42+…+4n-1-n•4n=

1-4n

1-4

-n•4n，…（8分）

整理得，Tn=

3n-1

•4n+

（n∈N^*）．…（9分）

（Ⅲ）当n≥2时，依题意得b₂-b₁=log₂a₂，b₃-b₂=log₂a₃，…，b_n-b_n-1=log₂a_n．

相加得，b_n-b₁=log₂a₂+log₂a₃+…+log₂a_n．…（12分）

依题意log2an=log24n-1=2(n-1)．

因为b₁=0，所以b_n=2[1+2+…+（n-1）]=n（n-1）（n≥2）．

显然当b₁=0时，符合．

所以b_n=n（n-1）（n∈N^*）．…（14分）