问题
解答题
| 已知数列{an}中，a1=5且an=2an-1+2n-1（n≥2且n∈N*）． （1）证明：数列{
（2）求数列{an}的前n项和Sn． |
答案
（1）∵数列{
}为等差数列an-1 2n
设bn=
，b1=an-1 2n
=2bn+1-bn=5-1 2
-an+1-1 2n+1 an-1 2n
=
[(an+1-2an)+1]=1 2n+1
[(2n+1-1)+1]=1，（6分）1 2n+1
可知，数列{
}为首项是2、公差是1的等差数列．（7分）an-1 2n
（2）由（1）知，
=an-1 2n
+(n-1)×1，a1-1 2
∴an=（n+1）•2n+1．（8分）
∴Sn=（2•21+1）+（3•22+1）+…+（n•2n-1+1）+[（n+1）•2n+1]．
即Sn=2•21+3•22+…+n•2n-1+（n+1）•2n+n．
令Tn=2•21+3•22+…+n•2n-1+（n+1）•2n，①
则2Tn=2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1．②（12分）
②-①，得Tn=-2•21-（22+23++2n）+（n+1）•2n+1=n•2n+1．
∴Sn=n•2n+1+n=n•（2n+1+1）．（15分）