已知函数f（x）=x2+x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），f′

问题解答题

已知函数f（x）=x²+x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），f′（x）是f（x）的导数，设a₁=1，an+1=an-

f(an)

f′(an)

（n=1，2，…）．
（1）求α，β的值；
（2）证明：对任意的正整数n，都有a_n＞α；
（3）记bn=ln

an-β

an-α

（n=1，2，…），求数列{b_n}的前n项和S_n．

答案

（1）∵f（x）=x²+x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），

∴α=

-1+

，β=

-1-

；

（2）f'（x）=2x+1，an+1=an-

+an-1

2an+1

=an-

an(2an+1)+

(2an+1)-

2an+1

(2an+1)+

2an+1

，

∵a₁=1，

∴有基本不等式可知a2≥

-1

＞0（当且仅当a1=

-1

时取等号），

∴a2＞

-1

＞0，同样a3＞

-1

，an＞

-1

=α（n=1，2），

（3）an+1-β=an-β-

(an-α)(an-β)

2an+1

an-β

2an+1

(an+1+α)

而α+β=-1，即α+1=-β，an+1-β=

(an-β)2

2an+1

，

同理an+1-α=

(an-α)2

2an+1

，bn+1=2bn，

又b1=ln

1-β

1-α

=ln

=2ln

sn=2(2n-1)ln