问题
解答题
已知数列{an}的前n项和Sn=1-nan(n∈N*)．
（1）计算a1，a2，a3，a4；
（2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
答案
（1）计算得a1=
；a2=1 2
；a3=1 6
；a4=1 12
．1 20
（2）猜测：an=
．下面用数学归纳法证明1 n(n+1)
①当n=1时，猜想显然成立．
②假设n=k（k∈N*）时，猜想成立，
即ak=
．1 k(k+1)
那么，当n=k+1时，Sk+1=1-（k+1）ak+1，
即Sk+ak+1=1-（k+1）ak+1．
又Sk=1-kak=
，k k+1
所以
+ak+1=1-(k+1)ak+1，k k+1
从而ak+1=
=1 (k+1)(k+2)
．1 (k+1)[(k+1)+1]
即n=k+1时，猜想也成立．
故由①和②，可知猜想成立．
