已知等差数列{an}满足：a3=5，a4+a8=22．{an}的前n项和为Sn．

问题解答题

已知等差数列{a_n}满足：a₃=5，a₄+a₈=22．{a_n}的前n项和为S_n．

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）求使得S_n＞5n成立的最小正整数n的值．

（3）设c_n=（﹣1）ⁿ⁺¹a_na_n+1，求数列{c_n}的前n项和T_n．

答案

解：（1）∵a₄+a₈=22，∴a₆=11，∴a₆﹣a₃=3d=11﹣5=6，∴d=2，∴a₁=1，∴a_n=2n﹣1．

（2），∴n²＞5n，故n的最小正整数为6．

（3）c_n=（﹣1）ⁿ⁺¹（2n﹣1）（2n+1）=（﹣1）ⁿ⁺¹（4n2﹣1）=

①n为奇数时，

T_n=（4×1²﹣1）+（1﹣4×2²）+（4×3²﹣1）+（1﹣4×4²）+…+4n²﹣1

=﹣4（2²﹣1²+4²﹣3²+…+（n﹣1）²﹣（n﹣2）²）+4n²﹣1

=﹣4（3+7+11+…+2n﹣3）+4n²﹣1

=2n²+2n﹣2，

②n为偶数时，

T_n=（4×1²﹣1）+（1﹣4×2²）+（4×3²﹣1）+（1﹣4×4²）+…+1﹣4n²

=﹣4（2²﹣1²+4²﹣3²+…+（n）²﹣（n﹣1）²） ﹣4（3+7+11+…+2n﹣1）

=﹣2n²﹣2n，

∴ ．