问题
解答题
数列{an}的前n项和为Sn，Sn+an=-
（Ⅰ）设bn=an+n，证明：数列{bn}是等比数列； （Ⅱ）求数列{nbn}的前n项和Tn； （Ⅲ）若cn=(
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答案
（Ⅰ） 因为Sn+an=-
n2-1 2
n+1（n∈N*）3 2
所以 ①当n=1时，2a1=-1，则a1=
，…．（1分）1 2
②当n≥2时，Sn-1+an-1=-
(n-1)2-1 2
(n-1)+13 2
，…．（2分）
所以2an-an-1=-n-1，即2（an+n）=a n-1+n-1，
所以bn=
b n-1（n≥2），而b1=a1+1=1 2
，…．（3分）1 2
所以数列数列{bn}是首项为
，公比为1 2
的等比数列，所以bn=（1 2
）n1 2
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得nbn=
．n 2n
所以 ①Tn=
+1 2
+2 22
+3 23
+…+4 24
+n-1 2n-1 n 2n
②2Tn=1+
+2 2
+3 22
+…+4 23
+n-1 2n-2
…．（6分）n 2n-1
②-①得：Tn=1+
+1 2
+…+1 22
-1 2n-1
…．（7分）Tn=n 2n
-1-(
)n1 2 1- 1 2
=2-n 2n
…（8分）n+2 2n
（Ⅲ）由（Ⅰ）知a n=(
)n-n∴cn=n…（9分）1 2
而dn=
=1+
+1 n2 1 (n+1)2
=n2(n+1)2+(n+1)2+n2 n2(n+1)2
=1+n(n+1)+1 n(n+1)
=1+1 n(n+1)
-1 n 1 n+1
…（11分）
所以P=(1+
-1 1
)+(1+1 2
-1 2
)+(1+1 3
-1 3
)+…+(1+1 4
-1 2013
)=2014-1 2014
，1 2014
故不超过P的最大整数为2013．…..（14分）