问题
解答题
| 已知函数f（x）=log3（ax+b）图象过点A（2，1）和B（5，2），设an=3f（n），n∈N*． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式及数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求使不等式(1+
（Ⅲ）对每一个k∈N*，在ak与ak+1之间插入2k-1个2，得到新数列：a1，2，a2，2，2，a3，2，2，2，2，a4，…，记为{bn}，设Tn是数列{bn}的前n项和，试问是否存在正整数m，使Tm=2008？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． |
答案
（Ⅰ）由已知，得
解得：log
=1 (2a+b)3 log
=2 (5a+b)3
．a=2 b=-1
∴f(x)=log3(2x-1)， (x＞
)…（2分）1 2
∴an=3log3(2n-1)=2n-1．n∈N*
∴数列{an}的通项公式为an=2n-1…（4分）
（Ⅱ）由题意a≤
(1+1 2n+1
)(1+1 a1
)…(1+1 a2
)对n∈N*均成立…（5分）1 an
记F(n)=
(1+1 2n+1
)(1+1 a1
)…(1+1 a2
)1 an
则
=F(n+1) F(n)
=2n+2 (2n+1)(2n+3)
＞2(n+1) 4(n+1)2-1
=12(n+1) 2(n+1)
∵F（n）＞0，∴F（n+1）＞F（n）
∴F（n）随着n的增大而增大…（7分）
而F（n）的最小值为F(1)=2 3 3
∴a≤
，即a的最大值为2 3 3
…（8分）2 3 3
（Ⅲ）∵an=2n-1
∴在数列{bn}中，am及其前面所有项之和为[1+3+5+…+（2m-1）]+（2+22+…+2m-1）=m2+2m-2…（10分）
∵102+210-2=1122＜2008＜112+211-2=2167
即a10＜2008＜a11…（11分）
又a10在数列{bn}中的项数为：10+1+2+…+28=521…（12分）
且2008-1122=886=443×2
所以存在正整数m=521+443=964，使得Sm=2008…（14分）
蒸汽时代；发电机和其他电力技术发明的出现，促进了第二次工业革命的到来。人类社会进入到电气时代；以互联网为代表的信息技术的迅速发展，极大地改变了人们的交往方式，人类进入到信息时代。