（Ⅰ）由题意，得

Sn

n

=

1

2

n+

11

2

，即Sn=

1

2

n2+

11

2

n.

故当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(

1

2

n2+

11

2

n)-[

1

2

(n-1)2+

11

2

(n-1)]=n+5.

注意到n=1时，a₁=S₁=6，而当n=1时，n+5=6，

所以，a_n=n+5（n∈N^*）．

又b_n+2-2b_n+1+b_n=0，即b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n（n∈N^*），

所以{b_n}为等差数列

于是

9(b3+b7)

2

=153.

而b3=11，故b7=23，d=

23-11

7-3

=3.

因此，b_n=b₃+3（n-3）=3n+2，即b_n=3n+2（n∈N^*）．

（Ⅱ）cn=

3

(2an-11)(2bn-1)

=

3

[2(n+5)-11][2(3n+2)-1]

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

).

所以，Tn=c1+c2++cn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)++(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

.

由于Tn+1-Tn=

n+1

2n+3

-

n

2n+1

=

1

(2n+3)(2n+1)

＞0，

因此T_n单调递增，故(Tn)min=

1

3

.

令

1

3

＞

k

57

，得k＜19，所以Kmax=18.

（Ⅲ）f(n)=

n+5(n=2l-1，l∈N*) 3n+2(n=2l，l∈N*).

①当m为奇数时，m+15为偶数．

此时f（m+15）=3（m+15）+2=3m+47，5f（m）=5（m+5）=5m+25，

所以3m+47=5m+25，m=11．

②当m为偶数时，m+15为奇数．

此时f（m+15）=m+15+5=m+20，5f（m）=5（3m+2）=15m+10，

所以m+20=15m+10，m=

5

7

∉N*（舍去）．

综上，存在唯一正整数m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立．