问题 解答题
已知数列{an},定义其倒均数是Vn=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
n
,n∈N*

(1)求数列{an}的倒均数是Vn=
n+1
2
,求数列{an}的通项公式an
(2)设等比数列{bn}的首项为-1,公比为q=
1
2
,其倒数均为Vn,若存在正整数k,使n≥k时,Vn<-16恒成立,试求k的最小值.
答案

(1)依题意,

1
a 1
+
1
a 2
+…+
1
a n
n
=
n+1
2

1
a 1
+
1
a 2
+…+
1
a n
=
n2+n
2
…(2分)

n≥2时,

1
a 1
+
1
a 2
+…+
1
a n-1
=
(n-1)2+(n-1)
2

两式相减得,得

1
an
=n.(n≥2)∴an=
1
n
(n≥2)
…(6分)

当n=1时,

1
a1
=1∴a1=1适合上式…(7分)

an=

1
n
.…(8分)

(2)由题意,bn=-(

1
2
)n-1
1
bn
=-2n-1
.…..(10分)

Vn=

1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
n
=
-(2-2n)
1-2
n
=
1-2n
2
…(12分)

不等式Vn<-16恒成立,即

1-2n
n
<-16,也即2n-1>16n恒成立.

易验证当n≤6时,左边<右边;

当n=7时,左边=127>112=右边.

故适合不等式Vn<-16的最小K值为7.…(14分)

阅读理解与欣赏

阅读下面文字

与众不同的妈妈

小时候,妈妈简直就是我的“心腹大患”,因为她太与众不同了。我很早就知道了这一点。

去其他孩子家玩的时候,他们的母亲开门后,说些“把你的脚擦干净”或“别把垃圾带到屋里”之类的话,不会让人觉得意外。但在我家,却是另外一种情形。当你按响门铃后,就会有故作苍老的孩子的声音从门里传出来:“我是巨人老大,是你吗,山羊格拉弗?”,或者是甜甜的假嗓子在唱歌:“是谁在敲门呀?”有时候,门会开一条缝,妈妈蹲伏着身子,装得跟我们一样高,然后一板一眼地说:“我是家里最矮的小女孩,请等会儿,我去叫妈妈。”随后门关上大约一秒钟,再次打开,妈妈就出现在眼前---这回是正常的身形。“哦,姑娘们好!”她和我们打招呼。

每当这时候,那些第一次来的伙伴会一脸迷惑地看着我,仿佛在说“天哪,这是什么地方”。我也觉得自己的脸都让妈妈给丢尽了。“妈---”我照例向妈妈大声抱怨。但她从来不肯承认她就是先前那个小女孩。

说实话,大人们都很喜欢妈妈,但毕竟与妈妈朝夕相处的是我,而不是他们。他们一定无法忍受“观察家”的存在。这是个隐形人,妈妈经常跟他谈论我们的情况。

“你看看厨房的地面。”往往是妈妈先开口。

“哎呀,到处是泥巴,你才把它擦干净,”“观察家”同情地答道,“他们就不知道你干活有多累?”

“我猜他们就是健忘。”

“那好办,把污水槽的抹布交给他们,罚他们把地面擦干净,这样才能让他们长记性。”“观察家”建议。

很快,我们就人手一块抹布,照着“观察家”给妈妈的建议开始干活了。

“观察家”的语调和妈妈如此迥异,以致根本没人怀疑那就是妈妈的声音。“观察家”注视着家庭成员的一举一动,不时地挑毛病、出主意,所以我的朋友们经常问我:“谁在跟你妈说话?”

我真不知如何来回答。

时间流逝,妈妈的言行没有丝毫变化,但她在我心目中的形象有了改善,一个偶然事件使我第一次意识到,拥有与众不同的妈妈是很不错的事。

我家住的那条街,有几棵参天大树,孩子们喜欢沿着树爬上爬下。如果一个妈妈逮到哪个孩子爬树,马上就会引来整个街区的妈妈们,然后是异口同声的呵斥:“下来!下来!你会摔断脖子的!”

有一天,我们一群孩子正待在树上,快活无比地将树枝摇来摆去。刚好我妈妈路过,看到了我们在树上的身影。当时,大伙儿都吓坏了。“没想到你还能爬这么高,”她大声冲我喊,“太棒了!小心别掉下来!”随后她就走开了。我们趴在树上一言不发,直到妈妈在视野中消失。“哇!”一名男孩情不自禁地轻呼,“哇!”那是惊讶,是赞叹,是羡慕我拥有这样一个与众不同的妈妈。

从那天起,我开始注意到,同学们下午放学回家的时候,总喜欢在我家逗留一段时间;同学聚会也经常在我家举行;我的伙伴们在自己家里沉默寡言,一到我家,就变得活泼开朗,跟我妈有说有笑。后来,每当我和这些伙伴遇上成长的烦恼时,总愿意向我妈妈求助。

我庆幸自己是妈妈的女儿,我终于喜欢上了妈妈的与众不同,而且为有这样的妈妈感到十分自豪。

小题1:文章第一段说“小时候,妈妈简直就是我的‘心腹大患’”,为什么“妈妈”是“我的‘心腹大患’”?请根据文意回答。(6分)

小题2:文章中用较多笔墨写“妈妈”和“观察家”的对话,细读全文,我们会发现,他们其实就是一个人。那么,“妈妈”为什么要以“观察家”的角色出现在孩子们面前呢?(5分)

小题3:文章开头说“妈妈简直就是我的‘心腹大患’”,结尾又说“我庆幸自己是妈妈的女儿,我终于喜欢上了妈妈的与众不同,而且为有这样的妈妈感到十分自豪。”“我”的感情为什么会发生如此大的变化?请你整合文意回答。(6分)

小题4:下列对这篇文章的理解,正确的两项是(   )(   )(4分)

A.第二段中,“妈妈”开门方式的与众不同表明,“妈妈”尽管十分想讨好“我”这个公主,但当第一次来的伙伴们一脸迷惑地看着“我”时,“我”仍然觉得自己的脸上无光。

B.文章通过记叙“我”和“妈妈”之间发生的故事,意在说明两代人之间是有代沟的,如何抚平这些代沟,值得每一个做家长的人深思。

C.文章用“别人”的妈妈和“我”妈妈作对比,并用一个男孩情不自禁地赞叹作佐证,意在批评“别人”的妈妈不善于教育自己的孩子。

D.文章通篇采用第一人称的写作手法,把当今家长怎样教育自己孩子的事情生动真切地展现在读者面前,让人觉得亲切而自然。E.全文记叙条理清晰,议论精当有力,主旨明确;结构严谨,过渡自然,首尾照应。

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