问题
解答题
某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用2千元，每年投保、动力消耗的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元．
（Ⅰ）求使用n年后，保养、维修、更换易损零件的累计费用S（千元）关于n的表达式；
（Ⅱ）问这台机器最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用（单位：千元）的最小值．（最佳使用年限是指使年平均费用最小的时间，年平均费用=（购入机器费用+运输安装费用+每年投保、动力消耗的费用+保养、维修、更换易损零件的累计费用）÷机器使用的年数 ）
答案
（I）∵第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，每年增加1千元
故每年的费用构造一个以2为首项，以1为公差的等差数列
∴前n年的总费用S=2+3+…+n+1=
，n(n+3) 2
（II）设使用n年的年平均费用为y，则
y=（72+2+2n+
）÷nn(n+3) 2
=
+72 n
+n 2
≥27 2
+36
=7 2 31 2
当
与72 n
，即n=12时取等号．n 2
故最佳使用年限是12年，这时年平均费用最小，为
千元/年31 2