问题
解答题
已知数列{an}的前n项和为Sn，a2=
（1）证明数列{an}为等比数列，并求出通项公式； （2）设数列{bn}的通项bn=
（3）求满足不等式3Tn＞Sn（n∈N+）的n的值． |
答案
（1）由2Sn+1=3Sn+2得到，2Sn=3Sn-1+2（n≥2）
则2an+1=3an（n≥2），
又a2=
，2S2=3S1+2，∴a1=1，3 2
=a2 a1 3 2
则
=an+1 an
(n∈N*)3 2
故数列{an}为等比数列，且an=(
)n-13 2
（2）由（1）知，an=(
)n-1，又由数列{bn}的通项bn=3 2
，则bn=(1 an
)n-12 3
故Tn=
=3[1-(1-(
)n2 3 1- 2 3
)n]2 3
（3）由（1）知，an=(
)n-1，则Sn=3 2
=2[(1-(
)n3 2 1- 3 2
)n-1]3 2
由（2）知，Tn=3[1-(
)n]2 3
则3Tn＞Sn（n∈N+）⇔9[1-(
)n]＞2[(2 3
)n-1]，3 2
令t=(
)n（t＞1），则9(1-3 2
)＞2(t-1)，1 t
解得 1＜t＜
，即1＜(9 2
)n＜3 2 9 2
又由f(x)=(
)x在R上为增函数，(3 2
)3=3 2
×9 2
，(3 4
)4=3 2
×9 2
，9 8
故n=1，2，3