问题 解答题
已知复数zn=an+bn•i,其中an∈R,bn∈R,n∈N*,i是虚数单位,且zn+1=2zn+
.
zn
+2i
,z1=1+i.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)求和:①z1+z2+…+zn;②a1b1+a2b2+…+anbn
答案

(1)∵z1=a1+b1•i=1+i,∴a1=1,b1=1.

zn+1=2zn+

.
zn
+2i,得an+1+bn+1•i=2(an+bn•i)+(an-bn•i)+2i=3an+(bn+2)•i,

an+1=3an
bn+1=bn+2

∴数列{an}是以1为首项公比为3的等比数列,数列{bn}是以1为首项公差为2的等差数列,

an=3n-1,bn=2n-1;

(2)由(1)知an=3n-1,bn=2n-1.

①z1+z2+…+zn=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)•i

=(1+31+32+…+3n-1)+(1+3+5+••+2n-1)•i

=

1
2
(3n-1)+n2•i.

②令Sn=a1b1+a2b2+…+anbnSn=1+3•3+32•5+…+3n-1•(2n-1)(Ⅰ)

将(Ⅰ)式两边乘以3得,3Sn=3•1+32•3+33•5+…+3n•(2n-1)(Ⅱ)

将(Ⅰ)减(Ⅱ)得-2Sn=1+2•3+2•32+2•33+…+2•3n-1-3n•(2n-1)

-2Sn=-2+3n(-2n+2)

所以Sn=(n-1)•3n+1

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