已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前 n项和，且满足
（1）求数列{an}的通项公式an和数列{bn}的前n项和Tn； （2）若对任意的n∈N*，不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，求实数λ的取值范围； （3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由． |
（1）在
=S2n-1中，令n=1，n=2，a 2n
得
，即a12=S1 a22=S3
…（1分）a12=a1 (a1+d)2=3a1+3d
解得a1=1，d=2，∴an=2n-1
又∵an=2n-1时，Sn=n2满足
=S2n-1，∴an=2n-1…（2分）a 2n
∵bn=
=1 an•an+1
(1 2
-1 2n-1
)，1 2n+1
∴Tn=
（1-1 2
+1 3
-1 3
+…+1 5
-1 2n-1
）=1 2n+1
． …（4分）n 2n+1
（2）①当n为偶数时，要使不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，即需不等式λ＜
=2n+(n+8)(2n+1) n
+17恒成立． …（5分）8 n
∵2n+
≥8，等号在n=2时取得．8 n
∴此时λ 需满足λ＜25． …（6分）
②当n为奇数时，要使不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，即需不等式λ＜
=2n-(n-8)(2n+1) n
-15恒成立． …（7分）8 n
∵2n-
是随n的增大而增大，∴n=1时，2n-8 n
取得最小值-6．8 n
∴此时λ 需满足λ＜-21． …（8分）
综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21． …（9分）
（3）T1=
， Tm=1 3
， Tn=m 2m+1
，n 2n+1
若T1，Tm，Tn成等比数列，则(
)2=m 2m+1
(1 3
)，n 2n+1
即
=m2 4m2+4m+1
． …（10分）n 6n+3
由
=m2 4m2+4m+1
，可得n 6n+3
=3 n
＞0，即-2m2+4m+1＞0，-2m2+4m+1 m2
∴1-
＜m＜1+6 2
． …（11分）6 2
又m∈N，且m＞1，所以m=2，此时n=12…（12分）
因此，当且仅当m=2，n=12时，数列T1，Tm，Tn中的T1，Tm，Tn成等比数列．…（13分）