（1）在

a

2n

=S2n-1中，令n=1，n=2，

得

a12=S1 a22=S3

，即

a12=a1 (a1+d)2=3a1+3d

        …（1分）

解得a₁=1，d=2，∴a_n=2n-1

又∵a_n=2n-1时，Sn=n2满足

a

2n

=S2n-1，∴a_n=2n-1…（2分）

∵bn=

1

an•an+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，

∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．   …（4分）

（2）①当n为偶数时，要使不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，即需不等式λ＜

(n+8)(2n+1)

n

=2n+

8

n

+17恒成立．    …（5分）

∵2n+

8

n

≥8，等号在n=2时取得．

∴此时λ 需满足λ＜25．              …（6分）

②当n为奇数时，要使不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，即需不等式λ＜

(n-8)(2n+1)

n

=2n-

8

n

-15恒成立．      …（7分）

∵2n-

8

n

是随n的增大而增大，∴n=1时，2n-

8

n

取得最小值-6．

∴此时λ 需满足λ＜-21．            …（8分）

综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21． …（9分）

（3）T1=

1

3

， Tm=

m

2m+1

， Tn=

n

2n+1

，

若T₁，T_m，T_n成等比数列，则(

m

2m+1

)2=

1

3

(

n

2n+1

)，

即

m2

4m2+4m+1

=

n

6n+3

．                           …（10分）

由

m2

4m2+4m+1

=

n

6n+3

，可得

3

n

=

-2m2+4m+1

m2

＞0，即-2m²+4m+1＞0，

∴1-

6

2

＜m＜1+

6

2

．                 …（11分）

又m∈N，且m＞1，所以m=2，此时n=12…（12分）

因此，当且仅当m=2，n=12时，数列T₁，T_m，T_n中的T₁，T_m，T_n成等比数列．…（13分）