已知各项为正的数列{an}中，a1=1，a2=2，log2an+1+log2an

问题填空题

已知各项为正的数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，log₂a_n+1+log₂a_n=n（n∈N^*），则a₁+a₂+…+a₂₀₁₃-2¹⁰⁰⁸=______．

答案

∵log₂a_n+1+log₂a_n=n

∴log₂（a_n+1a_n）=n=log₂2ⁿ，可得a_n+1a_n=2ⁿ

由此可得a_n+1a_n+2=2ⁿ⁺¹，得

an+2

∴a₁、a₃、…a₂₀₁₃和a₂、a₄、…、a₂₀₁₂分别构成以2为公比的等比数列

则a₁+a₃+…+a₂₀₁₃=

1-21007

1-2

=2¹⁰⁰⁷-1；a₂+a₄+…+a₂₀₁₂=

2(1-21006)

1-2

=2¹⁰⁰⁷-2

∴a₁+a₂+…+a₂₀₁₃-2¹⁰⁰⁸

=（2¹⁰⁰⁷-1）+（2¹⁰⁰⁷-2）-2¹⁰⁰⁸=2•2¹⁰⁰⁷-3-2¹⁰⁰⁸=2¹⁰⁰⁸-3-2¹⁰⁰⁸=-3

故答案为：-3