问题
解答题
| 定义数列{xn}，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有（xn+1-p）（xn-p）＜0成立，那么我们称数列{xn}为“p-摆动数列”． （1）设an=2n-1，bn=(-
（2）设数列{cn}为“p-摆动数列”，c1＞p，求证：对任意正整数m，n∈N*，总有c2n＜c2m-1成立； （3）设数列{dn}的前n项和为Sn，且Sn=(-1)n•n，试问：数列{dn}是否为“p-摆动数列”，若是，求出p的取值范围；若不是，说明理由． |
答案
（1）假设数列{an}是“p-摆动数列”，即存在常数p，总有2n-1＜p＜2n+1对任意n成立，
不妨取n=1，则1＜p＜3，取n=2，则3＜p＜5，显然常数p不存在，
所以数列{an}不是“p-摆动数列”；
而数列{bn}是“p-摆动数列”，p=0．
由bn=(-
)n，于是bnbn+1=(-1 2
)2n+1＜0对任意n成立，1 2
所以数列{bn}是“p-摆动数列”．
（2）由数列{cn}为“p-摆动数列”，c1＞p，即存在常数p，使对任意正整数n，总有（cn+1-p）（cn-p）＜0成立．
即有（cn+2-p）（cn+1-p）＜0成立．则（cn+2-p）（cn-p）＞0，
所以c1＞p＞⇒c3＞p⇒…⇒c2m-1＞p，
同理（c2-p）（c1-p）＜0⇒c2＜p⇒c4＜p⇒…⇒c2n＜p，
所以c2n＜p＜c2m-1．
因此对任意的m，n∈N*，都有c2n＜c2m-1成立．
（3）当n=1时，d1=-1，
当n≥2，n∈N*时，dn=Sn-Sn-1=(-1)n(2n-1)，
综上，dn=(-1)n(2n-1)，
则存在p=0，使对任意正整数n，总有dndn+1=(-1)2n+1(2n-1)(2n+1)＜0成立，
所以数列{dn}是“p-摆动数列”；
当n为奇数时dn=-2n+1递减，所以dn≤d1=-1，只要p＞-1即可，
当n为偶数时dn=2n-1递增，dn≥d2=3，只要p＜3即可．
综上-1＜p＜3．
所以数列{dn}是“p-摆动数列”，p的取值范围是（-1，3）．