问题
解答题
已知n是正整数，数列{an}的前n项和为Sn，对任何正整数n，等式Sn=-an+
（I）求数列{an}的首项a1； （II）求数列{an}的通项公式； （III）设数列{nan}的前n项和为Tn，不等式2Tn≤（2n+4）Sn+3是否对一切正整数n恒成立？若不恒成立，请求出不成立时n的所有值；若恒成立，请给出证明． |
答案
（I）当n=1时，a1= S1= -a1+
(1-3)，解得a1=-1 2
．1 2
（II）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
an-1+1 2
，则an-1 4
=1 2
(an-1-1 2
)1 2
因此数列{an-
}是首项为-1，公比为1 2
的等比数列，1 2
∴an-
=(-1)•(1 2
)n-11 2
∴an=
-1 2 1 2n-1
数列{an}的通项公式是an=
-1 2 1 2n-1
（III）不等式2Tn≤（2n+4）Sn+3对一切正整数n都成立，
∵nan=
-n•n 2
，1 2n-1
∴Tn=
(1+2+3+…+n)-(1+2•1 2
+3•1 2
+…+n•1 22
)1 2n-1
令Un=-(1+2•
+3•1 2
+…+n•1 22
)1 2n-1
则
Un= 1 2
+2•1 2
+3•1 22
+…+(n-1)•1 23
+n•1 2n-1 1 2n
上面两式相减：
Un= 1+1 2
+1 2
+…+1 22
-n•1 2n-1 1 2n
即Un=4-n+2 2n-1
∴Tn=
- 4+n(n+1) 4
=n+2 2n-1
+n2+n-16 4 n+2 2n-1
∵Sn=-an+
(n-3)=-1 2
+1 2
+1 2n-1
=n-3 2
+n-4 2 1 2n-1
∴2Tn-（2n+4）Sn=
+n2+n-16 2
-n+2 2n-2
- 2(n+4)(n-4) 2
=n+2 2n-2 -n2+5n 2
∴当n=2或n=3时，
的值最大，最大值为3，-n2+5n 2
∴对一切正整数n.2Tn-（2n+4）Sn≤3
∴不等式2Tn-（2n+4）Sn+3对一切正整数n都成立．