问题
解答题
| 设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c为实数，且c≠0． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设a=
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答案
（Ⅰ）∵an+1=can+1-c，an+1-1=c（an-1），
∴当a1=a≠1时，{an-1}是首项为a-1，公比为c的等比数列
∴an-1=（a-1）cn-1
当a=1时，an=1仍满足上式．
∴数列{an-1}的通项公式为an=（a-1）cn-1+1（n∈N*）；
（Ⅱ）由（1）得，当a=
，c=1 2
时，1 2
bn=n(1-an)=n{1-[1-(
)n]}=n(1 2
)n．1 2
∴Sn=b1+b2++bn=
+2×(1 2
)2+3×(1 2
)3++n×(1 2
)n．1 2
Sn=(1 2
)2+2×(1 2
)3++n×(1 2
)n+1．1 2
两式作差得
Sn=1 2
+(1 2
)2++(1 2
)n-n×(1 2
)n+1．1 2
Sn=1+
+(1 2
)2++(1 2
)n-1-n×(1 2
)n1 2
=
-n×(1-(
)n1 2 1- 1 2
)n=2×(1-1 2
)-1 2n
．n 2n
∴Sn=2-
．n+2 2n