问题
解答题
各项均为正数的数列{an}中，前n项和Sn=(
（1）求数列{an}的通项公式； （2）若
（3）对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间（2m，22m）内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm． |
答案
（1）∵Sn=(
)2，an+1 2
∴Sn-1=(
)2，n≥2，an-1+1 2
两式相减得an=(
)2-(an+1 2
)2，n≥2，…（2分）an-1+1 2
整理得（an+an-1）（an-an-1-2）=0，
∵数列{an}的各项均为正数，
∴an-an-1=2，n≥2，∴{an}是公差为2的等差数列，…（4分）
又S1=(
)2得a1=1，∴an=2n-1．…（5分）a1+1 2
（2）由题意得k＞(
+1 a1a2
+…+1 a2a3
)max，1 anan+1
∵
=1 anan+1
=1 (2n-1)(2n+1)
(1 2
-1 2n-1
)，1 2n+1
∴
+1 a1a2
+…+1 a2a3
=1 anan+1
[(1-1 2
)+(1 3
-1 3
)+…+(1 5
-1 2n-1
)]1 2n+1
=
(1-1 2
)＜1 2n+1
…（8分）∴k≥1 2
…（10分）1 2
（3）对任意m∈N+，2m＜2n-1＜22m，则2m-1+
＜n＜22m-1+1 2
，1 2
而n∈N*，由题意可知bm=22m-1-2m-1，…（12分）
于是Sm=b1+b2+…+bm=21+23+…+22m-1-(20+21+…+2m-1)
=
-2-22m+1 1-22
=1-2m 1-2
-(2m-1)=22m+1-2 3
，22m+1-3•2m+1 3
即Sm=
．…（16分）22m+1-3•2m+1 3